MatheAss 10.0 − Algèbre linéaire

Systèmes d'équations linéaires

Ce module calcule le vecteur solution d'un système d'équations linéaires comportant n équations à n inconnues.

Exemple : La recherche d'une parabole passant par les points P(1|3), Q(2|1) et R(4|9) conduit au système suivant :

  1·x1 + 1·x2 + 1·x3 = 3
  4·x1 + 2·x2 + 1·x3 = 1
 16·x1 + 4·x2 + 1·x3 = 9   
            
 L = (2; -8; 9)

La parabole obtenue a pour équation  : y = 2x2 - 8x + 9.

Exemple avec un espace de solutions de dimension 2 :

  0·x1 + 0·x2 + 2·x3 - 1·x4 = 1
  1·x1 + 1·x2 + 1·x3 + 1·x4 = 4
  2·x1 + 2·x2 - 4·x3 + 5·x4 = 5
  1·x1 + 1·x2 - 7·x3 + 5·x4 = 0

  L = { (3,5 - s - 1,5t; s; 0,5 + 0,5t; t) | s, t ∈ R }

Optimisation linéaire  (depuis février 2022)

Ce module détermine la solution optimale d'une fonction objectif à deux variables sous contraintes.

Fonction objectif :
  ƒ(x, y) = 140·x + 80·y → Maximum

Contraintes :
  x ≥ 0
  y ≥ 0
  x ≤ 600
  y ≤ 700
  x + y ≤ 750
  3·x + y ≤ 1200

Solution optimale :
  x = 225   y = 525
  ƒ(x, y) = 73500

Combinaisons linéaires

Ce module calcule la combinaison linéaire d'un vecteur à partir de trois vecteurs indépendants donnés.


    ⎧ 1 ⎫     ⎧ 1 ⎫     ⎧ 1 ⎫   ⎧ 2 ⎫
  a·⎪ 0 ⎪ + b·⎪ 1 ⎪ + c·⎪ 1 ⎪ = ⎪ 3 ⎪
    ⎩ 0 ⎭     ⎩ 0 ⎭     ⎩ 1 ⎭   ⎩ 4 ⎭

Solution :
  a = -1   b = -1   c = 4

Produit scalaire

Ce module calcule le produit scalaire de deux vecteurs, leurs longueurs et l'angle entre eux.

   ->  ⎧ 1 ⎫   ->  ⎧ 5 ⎫
   a = ⎪ 3 ⎪   b = ⎪ 0 ⎪
       ⎩ 1 ⎭       ⎩ 3 ⎭
           
Produit scalaire        = 8

Longueur du 1er vecteur = √11 = 3,32

Longueur du 2e vecteur  = √34 = 5,83

Angle entre les vecteurs   α = 65,56°

Produit vectoriel

Ce module calcule le produit vectoriel de deux vecteurs et sa norme.
Le vecteur obtenu est perpendiculaire au parallélogramme formé et sa norme correspond à l'aire de ce parallélogramme.

     ->  ⎧ 1 ⎫     ->  ⎧ 7 ⎫
     a = ⎪ 2 ⎪     b = ⎪ 1 ⎪
         ⎩ 3 ⎭         ⎩ 4 ⎭

 ->  ->  ⎧  5 ⎫    ->  ->  
 a x b = ⎪ 17 ⎪   |a x b|= √483 = 21,977261
         ⎩-13 ⎭

Produit triple

Ce module calcule le produit triple de trois vecteurs.
Sa valeur représente le volume du parallélépipède défini par ces vecteurs.


→   ⎧ 2 ⎫     →   ⎧ 2 ⎫     →   ⎧ 3 ⎫
a = ⎪ 3 ⎪     b = ⎪-1 ⎪     c = ⎪ 9 ⎪
    ⎩ 5 ⎭         ⎩ 7 ⎭         ⎩ 2 ⎭

( a × b ) · c = 26

Inversion de matrices

Ce module calcule l'inverse d'une matrice carrée, ainsi que son rang et son déterminant.

Matrice :
⎧ 1  0  2 ⎫
⎪ 0  1  0 ⎪
⎩ 3  0  1 ⎭

Matrice inverse :
⎧-0,2  0   0,4 ⎫
⎪  0   1     0 ⎪
⎩ 0,6  0  -0,2 ⎭

Ordre = 3   Rang = 3   Déterminant = -5

Matrice pseudo inverse

Si les colonnes d'une matrice  A  sont linéairement indépendants, alors  AT · A  est inversible et nous obtenons la pseudo inverse par la formule suivante:

A+ = (AT · A)-1 · AT

A+  est une inverse à gauche de  A , ce qui signifie que:  A+ · A = E .

Matrix A
¯¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧ 1  1  1  1 ⎫
  ⎩ 5  7  7  9 ⎭

AT· A
¯¯¯¯¯
  ⎧ 26  36  36  46 ⎫
  ⎪ 36  50  50  64 ⎪
  ⎪ 36  50  50  64 ⎪
  ⎩ 46  64  64  82 ⎭

AT· A singulière

A · AT
¯¯¯¯¯¯
  ⎧  4   28 ⎫
  ⎩ 28  204 ⎭

( A · AT )-1
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧ 6,375 -0,875 ⎫
  ⎩-0,875  0,125 ⎭

Inverse à droite:  AT·( A·AT )-1
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧    2 -0,25 ⎫
  ⎪ 0,25     0 ⎪
  ⎪ 0,25     0 ⎪
  ⎩ -1,5  0,25 ⎭

Produit des matrices

Le programme calcule le produit des deux matrices.

1e Matrice :     
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧ 1  0  2 ⎫
  ⎩ 0  1  0 ⎭

2e Matrice :     
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧-0,2  0  0,4  1 ⎫
  ⎪   0  1    0  1 ⎪
  ⎩ 0,6  0 -0,2  1 ⎭

Produit des Matrices:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧ 1  0  0  3 ⎫
  ⎩ 0  1  0  1 ⎭