MatheAss 10.0 − Analyse
Suites et Séries (Nouveau en version 9.0 depuis mai 2021)
Le logiciel calcule les n premiers termes d'une suite (ai) ainsi que la somme des termes (la série associée), à partir des premiers termes et d'une fonction explicite ai=ƒ(i) ou d'une formule de récurrence ai=ƒ(a0, a1, ..., ai-1).
Suite: ¯¯¯¯¯ ( a[ i ] ) = (1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19) Série: ¯¯¯¯¯ ( Σ a[ i ] ) = (1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100)
Division des polynômes
Le programme permet de calculer le produit et le quotient de deux polynômes.
1. Polynôme : 3x4 - 2x + 1
2. Polynôme : 2x + 5
Produit : 6x5 + 15x4 - 4x2 - 8x + 5
Quotient : 3/2x3 - 15/4x2 + 75/8x - 391/16
Résidu : 1971/16
Factorisation des polynômes (Nouveau en version 9.0)
Les zéros rationnels et la décomposition d'un polynôme en facteurs linéaires sont déterminés.
p(x) = x5 - 9x4 - 82/9x3 + 82x2 + x - 9
= (1/9)(9x5 - 81x4 - 82x3 + 738x2 + 9x - 81)
= (1/9)(3x - 1)(3x + 1)(x - 9)(x - 3)(x + 3)
Zéros rationnels : 1/3, -1/3, 9, 3, -3
Transformation des polynômes (Nouveau en version 9.0)
Un polynôme p(x) peut être déplacé ou étiré dans les directions x et y.
ƒ(x) = -1/4x4 + 2x3 - 16x + 21 Déplacement : dx = -2, dy = 0 ƒ(x + 2) = -1/4x4 + 6x2 + 1
PGCD et PPCM des polynômes (Nouveau en version 9.0 depuis février 2021)
Le plus grand commun diviseur (PGCD) et le plus petit commun multiple (PPCM) de deux polynômes sont calculés.
p1(x) = 4x6 - 2x5 - 6x4 - 18x3 - 2x2 + 24x + 8 p2(x) = 10x4 - 14x3 - 22x2 + 14x + 12 PGCD(p1, p2) = x2 - x - 2 PPCM(p1, p2) = 40x8 - 36x7 - 76x6 - 144x5 + 88x4 + 356x3 - 4x2 - 176x - 48
Traceur de fonctions
Un traceur permettant de représenter plusieurs fonctions dans un même système de coordonnées. Il est possible de concaténer ou de dériver des fonctions déjà définies.
Si ƒ1(x) = sin(x) et ƒ2(x) = 3√x, alors : ƒ3(x) = 2y12 - y2 → ƒ3(x) = 2sin2(x) - 3√x ƒ4(x) = f2(y1) → ƒ4(x) = 3√(sin(x)) ƒ5(x) = y2' → ƒ5(x) = 3 / (2√x)
Exemple : ƒ1(x)=sin(x), ƒ2(x)=x, ƒ3(x)=y1+y2
Fonctions définies par morceaux
Une fonction définie sur une réunion d'intervalles par jusqu'à neuf sous-fonctions est tracée. Pour chaque sous-fonction, la zone de définition, le type d'intervalle et la couleur sont spécifiés.
Exemple :
Courbes paramétriques
Une courbe définie par une représentation paramétrique est tracée.
Exemple : courbes de Lissajou
x(k) = sin(3k)
y(k) = cos(5k)
k de -π à π
Les figures de Lissajou apparaissent lorsque deux tensions alternatives de fréquences différentes sont appliquées à un oscilloscope.
Famille de courbes
Le programme trace des fonctions contenant un paramètre variable k. Les valeurs de k peuvent être listées ou définies par une valeur initiale, une valeur finale et un pas.
ƒ(x,k) = sin(x + k)
k de -2 à 2 avec un pas de π/4
Études des fonctions polynomiales (Nouveau en version 9.0)
Le programme exécute la discussion de la courbe pour une fonction polynomiale. Cela signifie que les dérivées et l'antidérivatif sont déterminées. La fonction est examinée pour les zéros rationnels, pour les extrêmes, pour les points de retournement et pour la symétrie.
Fonction:
¯¯¯¯¯¯¯¯
ƒ(x) = 3·x4 - 82/3·x2 + 3
= 1/3·(9·x4 - 82·x2 + 9)
= 1/3·(3·x - 1)·(3·x + 1)·(x - 3)·(x + 3)
Dérivées:
¯¯¯¯¯¯¯¯
ƒ'(x) = 12·x3 - 164/3·x
ƒ"(x) = 36·x2 - 164/3
ƒ'"(x) = 72·x
Antidérivatif:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
F(x) = 3/5·x5 - 82/9·x3 + 3·x + c
.
.
.
Études des fonctions rationnelles (Nouveau en version 9.0)
Le programme exécute la discussion de courbe pour une fonction rationnelle (brisée). Cela signifie que les dérivées et la domaine de définition sont déterminées. La fonction est examinée pour les zéros, les extrêmes, les points d'inflexion et le comportement pour |x|→ ∞.
Fonction :
¯¯¯¯¯¯¯¯
3·x3 + x2 - 4 (x - 1)·(3·x2 + 4·x + 4)
ƒ(x) = —————— = ———————————
4·x2 - 16 4·(x - 2)·(x + 2)
Lacunes de définition:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
x = 2 Pôle avec changement de signe
x =-2 Pôle avec changement de signe
Dérivées:
¯¯¯¯¯¯¯¯
3·(x4 - 12·x2) 3·(x2·(x2 - 12))
ƒ'(x) = ———————— = ————————
4·(x4 - 8·x2 + 16) 4·(x - 2)2·(x + 2)2
6·(x3 + 12·x) 6·(x·(x2 + 12))
ƒ"(x) = ——————————— = ———————
x6 - 12·x4 + 48·x2 - 64 (x - 2)3·(x + 2)3
.
.
.
Études des fonctions arbitraires
Le programme effectue la discussion de la courbe pour n'importe quelle fonction. Les dérivées sont déterminées, la fonction est examinée pour les zéros, les extrema et les points de retournement, les graphiques de ƒ, ƒ' et ƒ" sont tracées et un tableau de valeurs est généré.
Function: ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾ ƒ(x) = x^4-2*x^3+1 Domaine de l'étude de -10 à 10 Dérivées: ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾ ƒ'(x) = 4*x^3-6*x^2 ƒ"(x) = 12*x^2-12*x Zéros: ‾‾‾‾‾‾‾‾ N1(1|0) m = - 2 N2(1,83929|0) m = + 4,5912 Extrema: ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾ T1(1,5|-0,6875) m = 0 Pts d'inversions: ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾ W1(0|1) m = + 0 W2(1|0) m = - 2
Itération de Newton
Approximation des valeurs nulles d'une fonction d'après la méthode de Newton avec une valeur initiale x0.
ƒ(x) = x-cos(x)
x ƒ(x) ƒ'(x)
———————— —————— ——————
x0 = 1
x1 = 0,75036387 0,45969769 1,841471
x2 = 0,73911289 0,018923074 1,681905
x3 = 0,73908513 0,00004646 1,6736325
x4 = 0,73908513 0,00000000 1,673612
Calcul intégral (depuis février 2021 avec longueurs d'arc)
Les surfaces orientées et absolues entre deux courbes de fonctions dans un intervalle [a ; b] sont calculées.
Le programme permet aussi de calculer les volumes de révolution, les moments de torsion et les longueurs d'arc.
ƒ1(x) = cosh(x) ƒ2(x) = x2 + 1 Intervalle [a, b] : de -2 à 2 Surface orientée : A1 = -2,07961 Surface absolue : A2 = 2,07961 Longueurs d'arc : L1[a;b] = 7,254  L2[a;b] = 9,294
Développement en série
Une fonction donnée par une série de ƒ(x,k) est tracée. Plusieurs développements en série peuvent être comparés et déplacés en direction de y pour une meilleure distinction.
Les 16 premiers membres de la série Taylor pour la fonction sinus. . ƒ(x,k) = x^(2*k-1)/fac(2*k-1)*(-1)^(k+1) , k = 4, 8 et 16
Fonctions de l'aire
Une fonction de l'aire ƒ(x,y) est tracée. Cela veut dire une surface defini par une fonction à deux variables.
Exemple:
ƒ(x, y) = sin(u) / u
u(x, y) = sqrt(x * x + y * y)
-9 ≤ x ≤ 9
-9 ≤ y ≤ 9;
-0,5 ≤ z ≤ 1,5
